Beweis der Ladungsneutralität im homogenen Leiterinneren

Wir zeigen, daß sich im Inneren der beiden Leiter $A$ und $B$ keine Ladungen befinden. Mit (8) und (28) erhalten wir aus (26) und (27) für die elektrische Feldstärke $\vec E = - \vec\nabla \varphi$

$$\vec E = \left(Q - \frac{1}{e} \left(\frac{\partial \mu}{\partial... ... - \frac{1}{e} \left(\frac{\partial \mu}{\partial n}\right)_T \vec\nabla n \, .$$ (31)

Den Koeffizienten von $\vec\nabla T$ auf der rechten Seite bezeichnen wir mit $Q^\prime$. Bilden wir die Divergenz des Ausdrucks (31), wobei wir eine von einer Temperaturabhängigkeit herrührende räumliche Veränderlichkeit des Koeffizienten $Q^\prime$ und der Ableitung $(\partial\mu/\partial n)_T$ vernachlässigen, so erhalten wir vermöge der Maxwellgleichung

$$-e \delta n(\vec r)/\varepsilon_0= \rm {div}\,\, \vec E (\vec r)$$ (32)

für die Ladungsdichte $-e\delta n (\vec r)$ die Gleichung

$$-e \delta n ( \vec r) = \varepsilon_0 \left( Q^\prime \Delta T(\v... ...1}{e} \left(\frac{\partial \mu}{\partial n}\right)_T \Delta n (\vec r) \right).$$ (33)

$\Delta$ bezeichnet den Laplaceoperator. Da aus der Wärmeleitungsgleichung

$$C \dot T - \lambda \Delta T =0,$$ (34)

worin $C$ die spezifische Wärme pro Volumen angibt, im angenommenen stationären Fall folgt

$$\Delta T (\vec r) = 0\, ,$$ (35)

reduziert sich die Gleichung (33) für die Ladungsdichte auf

$$\Delta n(\vec r) = \xi^{-2} \delta n(\vec r),$$ (36)

worin

$$\xi = \left(\frac{\varepsilon_0}{e^2} \left(\frac{\partial \mu}{\partial n}\right)_T \right)^{1/2}$$ (37)

eine Länge von atomarer Größenordnung bezeichnet. Die Lösung der Differentialgleichung (36) fällt ins Innere der Leiter im Maßstab dieser Länge $\xi$ exponentiell auf null ab. (Es sei auf folgende Analogie aufmerksam gemacht: In der Londonschen Theorie der Supraleitung folgt aus der mathematisch mit (36) äquivalenten Gleichung für die magnetische Induktion $\vec B$ die Verdrängung des $\vec B$-Feldes aus dem Innern eines Supraleiters (Meißner-Ochsenfeld-Effekt) [4].)

Im makroskopischen Längenmaßstab gilt somit im Leiterinneren

$$\delta n (\vec r) = 0\, .$$ (38)

Die gesuchten Ladungen können also nur auf den Grenzflächen an den Leiterkontakten und den Leiteroberflächen sitzen!